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Algebra

Sistemas de ecuaciones

Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes.

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

Existe únicamente una solución.
Existe una cantidad infinita de soluciones.
No existe solución.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

Sustitución
Igualación
Reducción

Método de sustitución:

Sea el sistema

Método de sustitución

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x

y = 11 - 3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)".

5x - (11-3x) = 13

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente

5x – 11 + 3y = 13
5x + 3x = 13 + 11
8x = 24
x = 3

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y = 11 - 3x
y = 11 - 9
y = 2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

Método de igualación:

Sea el sistema:

Método de igualación

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Método de igualación

Igualamos ambas ecuaciones

11 - 3x = -13 + 5x
8x = 24
x = 3

Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y = 11 - 9
y = 2

Método de reducción:

Sea el sistema

Método de reducción

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así no más se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:

Para este ejemplo eliminamos "y"

Método de reducción

y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos

y = 2

Este método sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el numero de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.

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